НОВЫЕ КОНТЕКСТЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ ПРАКТИК ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ

 

НОВЫЕ КОНТЕКСТЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ ПРАКТИК ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ[1]

А.А. Попов (Москва, Новосибирск), С.В. Ермаков (Красноярск), М.С. Аверков (Красноярск), П.П. Глухов (Москва, Новосибирск)

 

Статья посвящена анализу и проработке современных проблем математического дополнительного образования, а также исследованию дальнейших путей развития представленной области образования. Авторы рассматривают уже сложившуюся систему математического образования и прослеживают влияние традиций советской эпохи на актуальную картину данного образования.

Примечательно то, что в статье математика рассматривается не только как дисциплина и предмет преподавания, а как образовательная практика, которая может быть представлена в разных ипостасях. Критическому анализу подвергаются сложившиеся формы практик математического дополнительного образования, выделены их эффективные стороны и дефициты. Рассматриваются такие формы как кружки любителей математики, предметные математические олимпиады, специализированные физико-математические школы и т.д. Отдельное внимание уделяется летним школам.  Фокус делается на практике отбора и поддержки математически одарённых школьников как оказывающей ключевое влияние на построение системы математического образования как в XX в., так и в настоящее время.

Помимо анализа оснований сложившихся подходов и целей математического образования исследуются современные контексты и вытекающие из них приоритеты математического образования. Анализируется перспективность для математического образования таких форматов как игры и симуляторы (в том числе компьютерные игры), сериалы (как форма популяризации специфического знания) и др.

Авторы строят гипотезу о том, в рамках каких векторов должно произойти расширение математического дополнительного образования. В работе делается попытка ответить на вопрос о том, какие новые форматы должны появиться в сфере математического образования; с какими популярными медийными трендами данная сфера могла бы синтезироваться; в каких современных практических обстоятельствах может быть применена специфика математического знания. В частности, рассматриваются как перспективные форматы интенсивных школ, элективных курсов, клубов и их типовое разнообразие.

Ключевые слова: математика, математическое образование, дополнительное образование, математические способности, открытое образование.

 

NEW CONTEXTS AND PERSPECTIVES OF IONAL EDUCATION IN MATHEMATICS

A.A. Popov (Moscow, Novosibirsk), S.V.Ermakov (Krasnoyarsk), M.S. Averkov (Krasnoyarsk), P.P. Gluchov (Moscow, Novosibirsk)

 

This article is devoted to the analysis and study of modern problems of mathematical additional education, and also to a research of further ways of developing the provided field of education. The authors consider the already existing system of mathematical education and trace influence of traditions of the Soviet era on a current picture of this kind of education.

It is noteworthy that in the article mathematics is regarded not only as a discipline and subject of teaching, but also as an educational practice that can be represented in different forms. The existing forms of mathematical additional education are exposed to the critical analysis, their effective components and deficits are distinguished. Such forms as clubs for mathematics lovers, the subject-specific mathematical olympiads (competitions), specialized physical and mathematical schools, etc. are considered. Special attention is paid to summer schools.  The focus is on the practice of selection and support of mathematically gifted students as the provider of a key influence on the construction of mathematical education in the XX century as well as now.

Besides the analysis of the bases of the existing approaches and the purposes of mathematical education, modern contexts and priorities of mathematical education following from them are researched. Prospects for mathematical education of such formats as games and simulators (including computer games), TV series (as a form of promoting some specific knowledge), etc. are analyzed.

The authors have a hypothesis about within what vectors there has to be an expansion of mathematical additional education. The paper attempts to answer the question of what kinds of new formats should appear in the field of mathematics education; with what popular  media trends this sphere could be synthesized; in what modern public practical circumstances the specificity of mathematical knowledge can be applied. In particular, the formats of intensive schools, elective courses, clubs and their standard variety are considered as perspective and promising.

Key words: mathematics, mathematical education, additional education, mathematical abilities, open education.

 

Актуальность

Математическое образование – это весьма чувствительная область, которая стремится не изменять традиции и сохранять фундаментализм. Однако, нельзя отрицать того, что темпы углубления самого математического знания и расширения областей его применения только возрастают. Прежде всего, изменился сам характер применения математики в технических и управленческих решениях:

1. Современные устройства со встроенными системами автоматического управления, особенно программируемые, содержат математическую модель «в себе» и требуют математической квалификации от пользователя.

2. Практики, напрямую не связанные с техническими решениями в узком смысле, строятся на основе сложных математических моделей (экономическое и социальное планирование, организация транспортных потоков и инфраструктур жизнеобеспечения).

3. Современная математика сегментирована на разделы «чистой» и «прикладной» математики, в том числе как отдельная область выделилась «теоретическая информатика» (computer science). 

Методология

Данная статья является результатом анализа исторически сложившихся подходов к математическому дополнительному образованию в России и социокультурного анализа современной ситуации, складывающейся вокруг математического образования.

Необходимость представления основных положений статьи обусловлена результатами экспертного анализа практик дополнительного образования, направленных на развитие математических способностей обучающихся, осуществлённого на основе материалов, представленных субъектами РФ, проведённого Федеральным институтом развития образования в рамках исполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ по теме «Концепция развития математического образования».

Итоги данной экспертизы указывают на ряд проблемных точек, связанных с тенденцией закрытости содержания и организационных форм авангардных практик дополнительного математического образования. С целью преодоления данных барьеров, авторами осуществляется попытка определения перспективных и потенциально тиражируемых форм математического дополнительного образования. 

Основные положения

Сложившиеся подходы и их цели

В советской традиции дополнительное образование школьников в области математики сложилось два подхода: «занимательная математика» и «рекордная математика».

1. Занимательность, направленная на приобщение к математическому знанию тех, кто ещё не готов для работы с его академическими формами, формирование предварительных представлений о характере математического знания, специфике математических объектов. Занимательная форма реализует содержательно-эмпирический подход к содержанию и, в силу конфликта с формальными подходами, воспринимается массовой практикой как нечто не серьёзное.

Цель занимательной математики — актуализация интереса школьников к математике как особому типу знаний и роду занятий. Это достигалось через обозначение связи математики с реальными практическими ситуациями, техническими решениями, через представление истории математики как борьбы идей и реальных жизненных драм либо как приключения в сказочном математическом мире.

Формы реализации, по преимуществу вне системы образования:

— Научно-популярная литература.

— Научно-приключенческая литература (в том числе с использованием сказочных персонажей, либо математических по своему происхождению [1, 2, 3]).

— Математические головоломки (от лабиринтов для малышей до криптографических задач для подростков).

2. Рекордность, направленная на поддержку тех, кому традиционные академические формы уже не достаточны, остающаяся в рамках формально-теоретического подхода. Данный подход позволял готовить «решателей задач», но не тех, кто может понимать реальные практические ситуации и формулировать на их основе новые задачи.

Подход рекордности нашёл своё выражение в системе отбора и поддержки математически одарённых школьников. В границах данной системы стратегии дополнительного математического образования определяло во многом научно-инженерное сообщество.

Цель отбора и поддержки математически одарённых школьников — инициация и поддержка рекордных стратегий, а также достижений в области математики, с выходом на отбор и раннюю профессионализацию в области точных наук и их приложений.

Выстроенная многоступенчатая система включала в себя:

— Кружки любителей математики.

— Предметные математические олимпиады (см. о подготовке [4]).

— Специализированные физико-математические школы.

Программы специализированных школ включали в себя углублённое изучение точных наук (с включением элементов высшей математики), кружковую работу с поощрением самостоятельного выбора сложных задач, знакомство с горизонтами поиска современной науки.

Летние школы дополнительно представляли собой помещение в социальное пространство, близкое к тому, которое формировалось в ведущих исследовательских институтах и конструкторских бюро.

На основе общей математической дидактики была выстроена система форм, направленных на отбор и поддержку математически одарённых школьников.

— Задача повышенной сложности. Требует нестандартного применения известных способов или узнавания условий их применения.

— Олимпиадная задача. Требует композиции известных способов, часто с обращением к разным разделам математики, и комбинации общих методов с неформальными схемами, такими, как полный перебор вариантов.

— Задача с неопределёнными параметрами. Решается через интуитивную догадку и логическое обоснование вывода на основе заданных условий [5, 6, 7]. Может моделировать известную историческую задачу, демонстрирующую красоту математики.

Новые контексты и приоритеты

Помимо уже упомянутых выше изменений в характере применения математики, также изменились социальные и антропологические контексты.

1. Современный ребёнок и, тем более, подросток обучен мыслить значениями, выражающимися в последовательностях образов, а не в грамматических конструкциях.

Цифровые вычислительные машины легко программируются на решение задач, связанных с преобразованиями чисел, формул и формально организованных высказываний — наиболее естественным было бы усиливать в математическом образовании способность работать с образами и оформлять интуитивные решения, чтобы превратить их в программы. Но существующее математическое образование по-прежнему делает акцент на технику вычислений и формальных преобразований.

2. В современной культуре утрачивается единство картины мира, и даже единство принципа, на котором эта картина мира выстроена. Современные технические решения, материализующие научную и инженерную рациональность, реализованные на их основе устройства и инфраструктуры требуют рационального мышления не только от разработчиков, но и от пользователей. Такой идеал рациональности должна задавать математика, а математические способности могут рассматриваются как основа для рационального мышления.

Дополнительное образование здесь может ставить следующие задачи:

— Формирование базовых приёмов рационального рассуждения, анализа и аргументации на материале практических, в том числе «житейских» задач.

— Формирование вкуса к сложному мышлению и получения эстетического удовлетворения от решения сложной задачи [8] (на материале необычных задач, поиска неочевидных связей и отношений).

Наиболее зарекомендовавшие себя формы здесь — художественные сюжеты, содержащие в своей основе математические проблемы; наиболее очевидны детективные сюжеты, связанные с криптографией (например, Эдгар Алан По («Золотой жук»), Артур Конан Дойл («Пляшущие человечки»)).

Современный вариант такого проекта — сеть клубов любителей сериала «Числа» («Numbers»), выходившего в США на канале CBS с 2005 по 2010 год (подробно описан в [9]).

3. Математика рассматривается как универсальный язык для понимания природных, технических, экономических законов [10]. Необходимо развитие способности переходить от практических моделей, используемых в «науках о реальности», к математическим моделям, с возможностью использовать математический формализм для преобразования этих моделей и поиска практически применимых мышлений.

Наиболее этот подход проработан в формах дополнительного образования, связанного с техническим творчеством: прежде чем создать новую конструкцию хотя бы в модели, её необходимо точно рассчитать, с учётом нюансов, заведомо выходящих за рамки школьной математики. Точно так же он может использоваться в исследовательской деятельности, в том числе с гуманитарными исследованиями «в поле».

Другие зарекомендовавшие себя формы здесь — компьютерные игры [11], в том числе командные, основанные на сложных математических моделях:

— экономические игры, моделирующие сложное взаимодействие между субъектами экономики в виртуальном сетевом государстве («Civilization», «Anno 2205», «Anno 2070»);

— военно-тактические симуляторы («World of Tanks», «Battleship», «Silent Hunter»), основанные на точных математических описаниях реальной военной техники и театров боевых действий;

— «интегральные» стратегические игры («SymCity», «Europa Universalis», «Stellaris»), требующие одновременной оценки многих численно выраженных параметров и их связей;

— игры–приключения, требующие решения сложных задач-головоломок разного рода, в том числе логических, теоретико-информационных, теоретико-механических («The Talos Principle», «Portal»).

Классические логические головоломки, построенные на сюжетах о «лжецах и правдецах» [6, 7].

Выводы. Перспективные практики дополнительного образования в области математики

1. Интенсивные школынаиболее продуктивны как практика дополнительного образования. Позволяют:

— обеспечить равную доступность качественного образования для школьников из разных территорий;

— поместить школьников в социальные и культурные формы;

— обеспечить интенсивное проживание современных форм продуктивной деятельности;

Но интенсивные школы являются также и наиболее затратными:

— издержки на проезд, проживание и питание участников, в том числе из отдалённых территорий, на оборудование и инфраструктуру;

— издержки на привлечение высококвалифицированных специалистов, как учёных, так и специалистов по организации содержательного культурного досуга;

— затраты на разработку образовательных программ; даже если они строятся по типовым схемам [12].

2. Элективные курсы, в условиях профильной школы, позволяют удобно упаковать программы интенсивных школ — но без соответствующих издержек [13].

В отличие от интенсивной школы, где образовательное содержание может быть в равной степени представлено заданиями, составом преподавателей, организацией уклада (как в учебной деятельности, так и жизни вне учебного процесса), в элективном курсе образовательная задача должна задавать:

— тему;

— последовательность шагов, позволяющих выйти из противоречия в продуктивное действие.

При наличии достаточного количества сходных задач, на уровне муниципальной или региональной системы образования может быть запущена олимпиада, ориентированная на большее владение научным предметным знанием и способами деятельности, на оценку компетентности [13, 14].

Но элективные курсы требуют больших затрат на разработку, в сравнении с интенсивными школами:

— необходимо компенсировать отсутствие значимых носителей предметного знания квалификацией преподавателя;

— необходимо компенсировать отсутствие целостного уклада;

— необходимо удержать временную динамику, случающуюся в условиях интенсивной школы естественным образом.

3. Клуб (или, в старой терминологии, кружок) можно считать минимальной формой дополнительного образования, ориентированной на предметность и могущей работать на поддержку (но на формирование) способности. Клуб как не обязательная форма деятельности привлекателен тем, кто руководствуется своими интересами, выходящими за пределы повседневных обязательств и требований.

Математический клуб может быть развёрнут для любого возраста, например, как:

— Клуб реконструкции математических сюжетов, восстанавливающий математические задачи из художественной литературы либо кинематографа (в том числе задачи не очевидные и не тривиальные).

— Исследовательский клуб, включающийся в сетевые сообщества научных обществ учащихся. Такие клубы могут строиться как вокруг задач, связанных с эстетикой математики (но тогда они будут, скорее всего, воспроизводить уже известные результаты), так и с решением прикладных задач на местности.

— Клуб участников сетевой игры, обсуждающий правила игры, закономерности игрового мира и устройств, присутствующих в игровом мире, устраивающий внутренние соревнования и оценивающий их результаты в том числе по тому, кто из участников как может оценить математические закономерности мира.

— Клуб любителей логических игр и головоломок, где принципиально не само по себе разгадывание головоломок как увлекательная интеллектуальная игра, но и описание схем рассуждений, позволяющих эффективно разгадывать головоломки.

Здесь принципиально важно:

— педагог, организующий клуб, должен ориентироваться в необходимой математике и в предметной действительности, по поводу которой строится клуб;

— в частности, ввиду актуальности сетевых игр для современных подростков, педагог сам должен быть если не фанатом, то любителем таких игр и уметь заразить школьников своим энтузиазмом;

— при организации исследовательской группы педагог должен быть сам любознателен и заинтересован в результате исследований.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левинова Л. А., Сапгир Г. И. Приключения Кубарика и Томатика, или весёлая математика. — М.: 1975. – 160c.
2. Лёвшин В. Фрегат капитана Единицы. — М.: 1979. – 160с.
3. Лёвшин В. Магистр рассеянных наук. Математическая трилогия. — М.: 1987. – 416с.
4. Энциклопедический словарь юного математика. / Сост. Савин А. П. — М.: 1989. – 352с.
5. Дж. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения // Пер. с англ. - 2-е изд.испр. — М.: Глав. ред. физ-мат. лит., 1975. — 464с.
6. Смаллиан Р. Принцесса или тигр? // Пер. с английского И. Е. Зино. —  М.: Мир – 1985. — 221с.
7. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? // Пер. с английского и предисл. Ю. А. Данилова. — М.: Мир, – 1981. — 238с.
8. Boris Koichua, Efim Katzb, Avi Berman Stimulating student aesthetic response to mathematical problems by means of manipulating the extent of surprise // The Journal of Mathematical Behavior. — 2017. — Vol. 46. — Pages 42-57.
9. Бёрд Киви. «4исла со смыслом» // Компьютерра, № 12, 2007. – [Электронный ресурс] – URL:http://old.computerra.ru/316706(дата обращения: 20.04.2017)
10. Valéria Švecová, Lucia Rumanová, Gabriela Pavlovičová Support of Pupil's Creative Thinking in Mathematical Education // Procedia - Social and Behavioral Sciences. — 2014. — Vol. 116. — Pages 1715-1719.
11. Cristiano Natal Tonéis The act of playing and the logical and mathematical reasoning in digital games: The mathematical experience in the digital games // Entertainment Computing. — 2017. — Vol. 18. — Pages 93-102.
12. Попов А.А., Проскуровская И.Д. Открытая модель дополнительного образования региона / Науч. ред. А. А. Попов, И. Д. Проскуровская. — Красноярск, 2004. – 279с.
13. Попов А. А. Образовательные программы и элективные курсы компетентностного подхода / Предисл. В.А. Болотова. – М.: ЛЕНАНД, 2014. – 344 с.
14. Попов А. А., Ермаков С. В., Реморенко И. М. Проект «Оценка компетентностных результатов и достижений. — в сб.: Попов А. А. Открытое образование как практика самоопределения. — М., Некоммерческое партнёрство «Авторский клуб», 2015. – 96с.

 

 

 

REFERENCES

1. Levinova L. A., Sapgir G. I. Kubarik and Tomatik's adventures, or cheerful mathematics. — M.: 1975. – 160c.
2. Lyovshin V. Frigate of the captain Edinitsa. — M.: 1979. – 160 pages.
3. Lyovshin V. Master of dispelled sciences. Mathematical trilogy. — M.: 1987. – 416 pages.
4. Encyclopedic dictionary of young mathematician. / Оriginator Savin A. P. — M.: 1989. – 352 pages.
5. J. Polya. Mathematician and reasonable reasonings//Lanes with English - the 2nd изд.испр. — M.: Heads. edition physical-mat. litas., 1975. — 464 pages.
6. Smallian R. Princess or tiger?//The lane from the English I. E. Zino. — M.: The world – 1985. — 221 pages.
7. Smallian R. How this book is called?//The lane from English Yu. A. Danilova. — M.: The world, – 1981. — 238 pages.
8. Boris Koichua, Efim Katzb, Avi Berman Stimulating student esthetic response to mathematical problems by means of manipulating the extent of surprise//The Journal of Mathematical Behavior. — 2017. — Vol. 46. — Pages 42-57.
9. Byord Kivi. "4isla with sense"//the Computerra, No. 12, 2007. – [An electronic resource] – URL: http://old.computerra.ru/316706 (date of the address: 20.04.2017)
10. Valéria Š vecová, Lucia Rumanová, Gabriela Pavlovičová Support of Pupil's Creative Thinking in Mathematical Education//Procedia - Social and Behavioral Sciences. — 2014. — Vol. 116. — Pages 1715-1719.
11. Cristiano Natal Tonéis The act of playing and the logical and mathematical reasoning in digital games: The mathematical experience in the digital games//Entertainment Computing. — 2017. — Vol. 18. — Pages 93-102.
12. Popov A. A., Proskurovskaya I. D. Open model of additional education of the region / Nauch. edition A. A. Popov, I. D. Proskurovskaya. — Krasnoyarsk, 2004. – 279 pages.
13. Popov A. A. Educational programs and elective courses of competence-based approach / Predisl. V. A. Bolotova. – M.: LENAND, 2014. – 344 pages.
14. Popov A. A., Ermakov S. V., Remorenko I. M. Project "Assessment of competence-based results and achievements. — Popov A. A. Open education as practice of self-determination. — M, Author's Club Non-profit partnership, 2015. – 96 pages.

 

BIBLIOGRAPHY

Arnold V. I. Ordinary differential equations. — M, 1986. – 272 pages.

Asmolov A. G. Cultural and historical psychology and constructioning of the worlds. M – Voronezh, 1996. – 650 pages.

Vertgeymer M. Productive thinking / Lane with English; General edition S.F. Gorbova and V.P. Zinchenko Vstup. Art. of V.P. Zinchenko. — M.: "Progress", 1987. — 336 pages: silt. 213.

Heisenberg V. Steps for the horizon. — M, Progress, 1986. – 368 pages.

Graham R., Cnut D., Patashnik Lake. Concrete mathematics. Informatics basis. — M.: 1998. – 703 pages.

Davydov V. V. The theory of the developing tutoring. — M.: INTOR, 1996. – 544 pages.

Descartes R. Rules for the management of mind.//Descartes R. Compositions, t. 1. — M, 1989. – 654 pages.

Demenyuk S. L. Fractal: between the myth and craft. — SPb: 2011. – 291 pages.

Yefimov V. S., Lapteva A. V., Ermakov S. V., etc. Possible worlds: initiation of creative thinking. M.: INTERPRAKS, 1994. – 128 pages.

Klein M. Mathematician. Searching of the truth. — M.: World, 1988. – 295 pages.

Lokatos I. Proofs and denials. As theorems are proved. — M, "Science", 1967. — 152 pages.

Piaget Ge. Genesis of number at the child.//Piaget Ge. Selected psychological works. — M.: 1994. – 659 pages.

 

 

 

 

Сведения об авторах:

Попов Александр Анатольевич – доктор философских наук, главный научный сотрудник Федерального института развития образования, заведующий лабораторией компетентностных практик образования Московского городского педагогического университета, доцент, Новосибирского государственного технического университета;

Аверков Михаил Сергеевич - генеральный директор КР МОО "Сибирский дом"

Ермаков Семён Вячеславович – кандидат философских наук, доцент, Сибирский федеральный университет;

Глухов Павел Павлович – аспирант кафедры СМК Гуманитарного факультета Новосибирского государственного технического университета, младший научный сотрудник лаборатории компетентностных практик образования Московского городского педагогического университета.

 

Адрес: 127562, г. Москва, ул. Алтуфьевское шоссе 30, кв. 104

Тел.: 8-908-23-21-27

E-mail: Gluhovpav.pav@gmail.com

 

Popov Aleksandr Anatolyevich – Doctor of Philosophical Sciences, Federal state

autonomous establishment «Federal education development institute», Principal research scientist, Head of the laboratory Competence-based practices of education, Moscow City Teacher Training University, Docent, Novosibirsk State Technical University

Ermakov Semen Vyacheslavovich – Candidate of Philosophical Sciences, Docent, Siberian Federal University

Averkov Mikhail Sergeyevich - CEO of KP MOO "Siberian House"

Gluhov Pavel Pavlovich - Graduate student of Department SMK of the Humanitarian faculty, Novosibirsk State Technical University, Junior research scientist of the laboratory Competence-based practices of education, Moscow City Teacher Training University